Метод конечных разностей для уравнения переноса с распределенными параметрами на сети

Вопрос построения решения начально-краевой задачи для эволюционного дифференциального уравнения с пространственной переменной, изменяющейся на сети (геометрическом графе) остается в поле зрения исследователей в течение нескольких последних лет. Тому есть немало причин прикладного характера: большое количество математических моделей, описывающих процессы переноса сплошных сред по сетевым носителям, используют формализмы уравнений с частными производными и им соответствующим начально-краевым задачам. В работе используются как классические подходы аппроксимаций дифференциальных уравнений на линейных фрагментах сети (ребрах графа), так и указаны принципы построения аппроксимаций дифференциальных соотношений, порожденных обобщенными условиями Кирхгофа, в точках сочленения этих фрагментов (в узлах графа). Последнее является отличительной особенностью понятия дифференциального уравнения с пространственной переменной, изменяющейся на сети (графе), и ему соответствующего конечно-разностного аналога по сравнению с классическим уравнением и его конечно-разностным аналогом. Изучены вопросы аппроксимации эллиптического оператора начально-краевой задачи (установлена погрешность аппроксимаций), устойчивости двухслойной разностной схемы, проведен детальный анализ ее устойчивости. Разработан алгоритм построения решения, основанный на новых численных методах анализа задач переноса в сложноструктурируемых материалах с неравномерно распределенными свойствами сплошной среды по сетевому носителю. Разработана и тестирована ЭВМ-программа на тестовых задачах, ориентированных на задачи прикладного характера. Полученные результаты могут быть использованы при анализе начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на многомерной сети, имеющих интересные аналогии с многофазными задачами многомерной гидродинамики.

1. Провоторов В.В. Разностные схемы граничных задач на графе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009;5(10):14-18.

2. Провоторов В.В. Разностная схема для параболического уравнения с распределенными параметрами на графе. Системы управления и информационные технологии. 2014;55.(1.1):187-190.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд. 5-е. – М. Наука. 1977. – 736 с.

4. Podvalny S.L., Provotorov V.V., Podvalny E.S., The controllability of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph. Procedia Computer Sciense. 2017;103:324-330.

5. Borisoglebskaya L.N., Provotorov V.V., Sergeev S.M., Kosinov E.S. Mathematical aspects of optimal control transference processes in spatial networks. International Scientific Workshop «Advanced Technologies in Material Science, Mechanical and Automation Engineering» MIP: Engineering-2019. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 537 042025. DOI: 10.1088/1757-899X/537/4/042025.

6. Провоторов В.В., Провоторова Е.Н. Синтез оптимального граничного управления параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017;13(2):209-224.

7. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Balaban O.R. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019;15(2):187-198. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203 (accessed 18/06/2021).

8. Zhabko A.P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019;15(3):323-336. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303 (accessed 18/06/2021).

9. Provotorov V.V., Sergeev S.M., Part A.A. Solvability of hyperbolic systems with distributed parameters on the graph in the weak formulation. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019;14(1):107-117. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.2003 (accessed 18/06/2021).

10. Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010;(2):60-69.

11. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов системы «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;1.2(31):272-277.

12. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;32(2.2):293-297.

13. Provotorov V.V., Provotorova E.N. Optimal control of the linearized Navier-Stokes system in a netlike domain. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2017;13(4):431-443. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2017.409 (accessed 18/06/2021).

14. Artemov M.A., Baranovskii E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. On a 3D model of nonisothermal flows in a pipeline network. Journal of Physics. Conference Series, 2019, 1203, Article ID 012094. Available at: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094 (accessed 18/06/2021).

15. Provotorov V.V., Provotorova E.N. Optimal control of the linearized Navier-Stokes system in a netlike domain. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2017;13(4):431-443. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2017.409 (accessed 18/06/2021).