Оптимизация дискретно-временной системы переноса сплошной среды по сетевому носителю

В технологиях транспортировки сплошных сред (газа, нефти, нефтепродуктов и пр.) используются носители (трубопроводные и магистральные сети), топологическая структура которых аналогична структуре геометрического графа. Вопросам математического моделирования процессов переноса по таким носителям, а также связанным с ними анализом различного рода задач оптимизации посвящено немало работ, однако математическое обоснование полученных результатов недостаточно в рамках общей математической теории теплопереноса и массопереноса. В работе рассматривается задача оптимизации дифференциально-разностной системы, которая определяет дискретно-временной аналог дифференциальной системы для уравнения переноса на графе (в приложениях – на сети). Используется метод Е. Ротэ, основанный на полудискретизации по временной переменной начально-краевой задачи, позволяющий установить не только условия разрешимости указанной задачи, но и получить оптимизационную задачу для дифференциально-разностной системы. При этом свойство коэрцитивности билинейной дифференциальной формы эллиптического оператора и непрерывность минимизируемого квадратичного функционала являются необходимыми и достаточными условиями однозначной разрешимости оптимизационной задачи. Полученные результаты применимы при моделировании сетеподобных процессов переноса сплошных сред формализмами дифференциально-разностных систем с пространственной переменной, изменяющейся на сетеподобной многомерной области. Представлены условия, определяющие решение оптимизационной задачи или множество таких решений. При этом намечены подходы к анализу задачи оптимизации системы, определенной на многомерной сетеподобной области. Полученные результаты лежат в основе анализа задач оптимального управления дифференциальными системами с распределенными параметрами на графе, имеющие интересные аналогии с многофазовыми задачами многомерной гидродинамики.

1. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;32(2.2):293–297.

2. Podvalny S.L., Provotorov V.V., Podvalny E.S., The controllability of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph. Procedia Computer Sciense. 2017;103:324–330(accessed 10/2/2022).

3. Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из M струн. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012;1:60–69.

4. Волкова А.С., Махинова О.А. Устойчивость разностной схемы для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе. Системы управления и информационные технологии. 2014;1(55):19–22.

5. Rothe E. Warmeleitungsgleichungen mit nichtconstanten koeffizienten. Thermal conductivity equations with non-constant coefficients. Math. Ann.1931;104:340–362. (In German) (accessed 10/2/2022).

6. Provotorov V.V., Sergeev S.M., Hoang V.N. Countable stability of a weak solution of a parabolic differential-difference system with distributed parameters on the graph. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes.2020;16(4):402–414.Available at: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2020.405 (accessed 10/2/2022).

7. Волкова А.С., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе. Известия вузов. Математика. 2014;3:3–18.

8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва, Мир; 1972. 414 с.

9. Provotorov V.V., Provotorova E.N. Optimal control of the linearized Navier-Stokes system in a netlike domain. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2017;13(4):431–443. Available at: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2017.409 (accessed 10/2/2022).

10. Artemov M.A., Baranovskii E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. On a 3D model of nonisothermal flows in a pipeline network. Journal of Physics. Conference Series. 2019;1203:012094. Available at: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094 (accessed 10/2/2022).

11. Волкова А.С. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе. Системы управления и информационные технологии. 2014;1.1(55):117–121.

12. Тран З., Парт А.А. Параметрическая оптимизация процесса переноса сплошной среды по сетевому носителю. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2021;9(4). Доступно по https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1090 DOI: 10.26102/2310-6018/2021.35.4.037.

13. Тран З., Провоторов В.В. Метод конечных разностей для уравнения переноса с распределенными параметрами на сети. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2021;9(3). Доступно по: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1019. DOI: 10.26102/2310-6018/2021.34.3.012

14. Sergeev S.M. Cross-system way of looking to business with limited resources. In the collection: Selected Papers of the International Scientific School "Paradigma" Winter-2016 (Varna, Bulgaria) Compiling Editor Dr. Sc., Prof. O.Ja. Kravets. Yelm, WA, USA.2016:95–102 (accessed 10/2/2022).

15. Krasnov S., Sergeev S., Titov A., Zotova Y. Modelling of digital communication surfaces for products and services promotion. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019;012032 (accessed 10/2/2022).

16. Krasnov S., Sergeev S., Zotova E., Grashchenko N. Algorithm of optimal management for the efficient use of energy resources. E3S Web of Conferences. 2018 International Science Conference on Business Technologies for Sustainable Urban Development, SPbWOSCE 2018. 2019;02052 (accessed 10/2/2022).

17. Borisoglebskaya L.N., Provotorov V.V., Sergeev S.M., Kosinov E.S. Mathematical aspects of optimal control of transference processes in spatial networks. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. International Workshop «Advanced Technologies in Material Science, Mechanical and Automation Engineering – MIP: Engineering – 2019». 2019;42025 (accessed 10/2/2022).