Решение задачи переноса сплошной среды по сетевому носителю в символьном виде

При исследовании эволюционных процессов переноса сплошной среды по сетевым носителям основное внимание уделяется вопросам существования и приближенного нахождения решений начально-краевых задач для дифференциальных систем уравнений, формализмами которых описываются математические модели указанных процессов. В инженерной практике такие модели, как правило, считаются линейными, либо допускают линеаризацию (классический пример – линеаризованные системы Навье-Стокса). Центральная идея, базирующаяся на использовании инструментов теории символьной математики и определившая весь стиль данной работы, предопределяет осмысление закономерностей явлений переноса в местах ветвления (узловых местах) носителя процесса и последующее математическое описание таких явлений в терминах дифференциальных или иных соотношений. В работе представлена математическая модель эволюционного сетеподобного процесса переноса сплошной среды (линейная дифференциальная система) и соответствующая ей дифференциально-разностная система, полученная полудискретизацией дифференциальной системы по временной переменной. Для доказательства разрешимости последней и фактического определения приближений решения исходной дифференциальной системы используются методы символьной математики. При этом предлагается и обосновывается алгоритм нахождения символьно-численного решения дифференциально-разностной системы и приближений решений начально-краевой задачи для уравнения переноса сплошной среды. В основе алгоритма лежит аппроксимация частной производной по временной переменной разностным отношением (используется двухслойная аппроксимационная схема) и последующее применение преобразования Лапласа к полученной дифференциально-разностной системе. Представлена блок-схема алгоритма, приведено описание структуры программного комплекса на основе разработанного алгоритма. Программный комплекс разработан на языке программирования Java. Для ввода исходных данных начально-краевой задачи и вывода решения используется веб-интерфейс программного комплекса на основе фреймворка Spring. Для иллюстрации работы программного комплекса рассматривается пример решения начально-краевой задачи с пошаговой демонстрацией результатов расчетов. Представляемый метод может использоваться в анализе прикладных задач сетевой гидродинамики, теплотехники, а также анализе диффузионных процессов биофизики.

1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир; 2000. 315 с.

2. Кулябов Д.С., Кокотчикова М.Г. Аналитический обзор систем символьных вычислений. Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. 2007;(1-2):38–45.

3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: ФИЗМАТЛИТ; 2004. 272 с.

4. Свиридюк Г.А., Шеметова В.В. Уравнения Хоффа на графах. Дифференц. уравнения. 2006;42;(1):126–131.

5. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука; 1975. 395 с.

6. Карпов Д.В. Теория графов. СПб.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН Санкт-Петербургское отделение; 2021. 559 с.

7. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;32(2.2):293–297.

8. Zhabko A.P., Shindyapin A.I., Provotorov V.V. Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019;15(4):457–471. DOI: 10.21638/11702/spbu10.2019.404.

9. Малашонок Н.А, Рыбаков М.А. Символьно-численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с требуемой точностью. Журнал “Программирование” РАН. 2013;3:38–46.

10. Малашонок Г.И., Рыбаков М.А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений и расчет динамических характеристик систем управления в веб-сервисе MathPartner. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2014;19(2):517–529.

11. Рыбаков М.А. О нахождении общего и частного решений неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2012;17(2):552–565.