Применение троичной сбалансированной системы счисления для повышения точности вычислений

В работе описано использование троичной сбалансированной системы счисления для вычисления элементов обратной матрицы для плохо обусловленных матриц. Обусловленность матрицы характеризует, насколько сильно решение системы линейных уравнений может изменяться в зависимости от малых возмущений в данных. Чем больше значение обусловленности, тем чувствительнее матрица к малым изменениям в данных. В качестве примера плохо обусловленной матрицы приводится матрица Гильберта размерностью три на три, для которой на основе известного выражения вычислены истинные значения элементов обратной матрицы. Приводится оценка погрешностей вычисления элементов обратной матрицы Гильберта, полученных с различной степенью точности вычислений в двоичной системе счисления (с помощью компьютера, программная реализация на языке Си) и в троичной сбалансированной системе счисления (вычисления проводились вручную). Сравнение результатов вычислений производится в десятичной системе счисления. Показано, что использование троичной сбалансированной системы счисления позволяет снизить погрешность вычислений элементов плохо обусловленной матрицы в несколько раз (в 3 и более раза на данных низкой точности и в 1,5 и более раз на более точных данных).

1. Калиткин Н.Н., Юхно Л.Ф., Кузьмина Л.В. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических уравнений. Математическое моделирование. 2011;23(2):3–26.

2. Кашапова Л.А., Степанова М.Д., Толстых О.Д. К вопросу об обусловленности матриц и устойчивости линейных алгебраических систем. Молодая наука Сибири. 2021;(2). URL: https://mnv.irgups.ru/sites/default/files/articles_pdf_files/kashapova_stepanova_tolstyh.pdf

3. Майстренко А.В., Светлаков А.А., Черепанов Р.О. Исследование свойств матрицы Гильберта и причин ее плохой обусловленности. Омский научный вестник. 2011;(3):265–269.

4. Молодцов В.С. Методы нахождения обратных матриц распределительных электрических сетей энергосистем. Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 2018;61(3):60–67. https://doi.org/10.17213/0136-3360-2018-3-60-67

5. Партко С.А., Грошев Л.М., Сиротенко А.Н. Проектирование мобильных машин моделированием динамических нагрузок на узлах их приводов. Вестник Донского государственного технического университета. 2020;20(2):155–161. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2020-20-2-155-161

6. Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Thomson Brooks/Cole; 2008. 784 p.

7. Фукс Д.Б., Фукс М.Б. Арифметика биномиальных коэффициентов. Квант. 1970;(6):17–25.

8. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Москва: Мир; 1969. 168 с.

9. Зубков С.В. Assembler для DOS, Windows и UNIX. Москва: ДМК Пресс; 2000. 608 с.

10. Брусенцов Н.П., Маслов С.П., Розин В.П., Тишулина А.М. Малая цифровая вычислительная машина «Сетунь». Москва: Изд-во МГУ; 1965. 145 с.

11. Гиниятуллин В.М., Салихова М.A. Эффект компенсации ошибок округления в троично-сбалансированной системе счисления. Вестник кибернетики. 2020;(4):14–20. https://doi.org/10.34822/1999-7604-2020-4-14-20