Параметрическая оптимизация процесса переноса сплошной среды по сетевому носителю

В статье рассматривается задача оптимального воздействия на процесс переноса сплошной среды по сетевому носителю, который осуществляет свое влияние на процесс в узловых местах (местах ветвления) сети. Математическая модель указанного процесса определяется формализмами начально-краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа с распределенными параметрами на графе (далее – дифференциальная система на графе). Оптимизирующая функция (в зарубежной литературе, например, в работах J. L. Lions – функция стоимости) определяется функционалом, задаваемым на ограниченном множестве пространства допустимых изменений параметров, в качестве которых выступает совокупность функций, суммируемых по пространственной переменной. Анализ поставленной задачи осуществляется с помощью редукции дифференциальной системы к дифференциально разностной, используя метод полудискретизации по временной переменной (аналог метода Е. Rote), причем дифференциально-разностная система наследует основные свойства исходной: однозначная разрешимость, непрерывность по исходным данным. Таким образом, математическая модель изучаемого процесса переноса определяется дифференциально разностной системой с погрешностью по временной переменной, пропорциональной шагу дискретизации, причем указана возможность уменьшения погрешности до пропорциональной квадрату шага дискретизации. Последнее продиктовано необходимостью максимально эффективно алгоритмизировать отыскание оптимальной совокупности параметров воздействия на дифференциальную систему, а значит, на изучаемый процесс переноса сплошных сред. В исследовании существенно используется сопряженное состояние и сопряженная система для дифференциально разностной системы, в терминах которых получены соотношения, определяющие оптимальную совокупность параметров, приведен алгоритм отыскания этой совокупности. Полученные результаты лежат в основе анализа других задач оптимизации процессов переноса сплошных сред, при этом выявлены интересные аналогии с многофазными задачами многомерной гидродинамики.

1. Krasnov S., Sergeev S., Zotova E., Grashchenko N. Algorithm of optimal management for the efficient use of energy resources. E3S Web of Conferences. 2018 International Science Conference on Business Technologies for Sustainable Urban Development, SPbWOSCE 2018. 2019;02052 (accessed 18/11/2021).

2. Krasnov S., Sergeev S., Titov A., Zotova Y. Modelling of digital communication surfaces for products and services promotion. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019;012032 (accessed 18/11/2021).

3. Krasnov S., Zotova E., Sergeev S., Krasnov A., Draganov M. Stochastic algorithms in multimodal 3PL segment for the digital environment. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 8th International Scientific Conference «TechSys 2019» – Engineering, Technologies and Systems. 2019; 012069 (accessed 18/11/2021).

4. Парт А.А. Задача оптимизации гиперболической системы в пространстве . Сборник трудов X Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий». 2017;283–286.

5. Aleksandrov A., Aleksandrova E., Zhabko A. Asymptotic stability conditions of solutions for nonlinear multiconnected time-delay systems. Circuits Systems and Signal Processing. 2016;35(10):3531–3554 (accessed 18/11/2021).

6. Alexandrova I.V., Zhabko A.P. A new LKF approach to stability analysis of linear systems with uncertain delays. Automatica. 2018;91:173–178 (accessed 18/11/2021).

7. Тран З., Провоторов В.В. Метод конечных разностей для уравнения переноса с распределенными параметрами на сети. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2021;9(3). Доступно по: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1019. DOI: 10.26102/2310-6018/2021.34.3.012 (дата обращения: 18/11/2021).

8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва, Мир.1972, 587 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука; 1977. 456 с.

10. Карелин В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010;10(4):109–114.

11. Карелин В.В., Буре В.М., Свиркин М.В. Обобщенная модель распространения информации в непрерывном времени. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017;13(1):74–80. Доступно по: https://doi:10.21638/11701/spbu 10.2017.107 (дата обращения: 18/11/2021).

12. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic modes in automatic control system with a three-position relay. Intern. Journal Control. 2020;93(4):763–770.

13. Borisoglebskaya L.N., Provotorov V.V., Sergeev S.M., Kosinov E.S. Mathematical aspects of optimal control of transference processes in spatial networks. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. International Workshop «Advanced Technologies in Material Science, Mechanical and Automation Engineering – MIP: Engineering – 2019». 2019;42025 (accessed 18/11/2021).

14. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011;10(1):116–133.

15. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. On uniqueness and properties of periodic solution of second-order nonautonomous system with discontinuous nonlinearity. Journal of Dynamical and Control Systems. 2017;23(4):825–837(accessed 18/11/2021).

16. Borisoglebskaya L.N., Provotorova E. N., Sergeev S. M. Promotion based on digital interaction algorithm. International Scientific Workshop «Advanced Technologies in Material Science, Mechanical and Automation Engineering», MIP: Engineering-2019. 2019. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 537 042032(accessed 18/11/2021).

17. Sergeev S.M., Sidnenko T.I., Sidnenko D.B. Distribution centers for agriculture, their modeling. International Scientific School «Paradigma» Summer-2016 Selected Papers. Yelm, WA, USA. 2016;92–97 (accessed 18/11/2021).

18. Iliashenko O., Sergeev S., Krasnov S. Calculation of high-rise construction limitations for non-resident housing fund in megacities. E3S Web of Conferences. 2018;03006 (accessed 18/11/2021).