Определение скорости стабилизации решения одной начальной задачи для уравнения теплопроводности

Дифференциальные уравнения интенсивно применяются в качестве моделей широкого круга естественнонаучных задач. Для большинства дифференциальных уравнений не удается получить решения в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции, а если и удается, то зачастую представления этих решений очень громоздки, что затрудняет их практическое использование. Поэтому очень остро стоит вопрос об отыскании простых формул, которые с достаточной степенью точности описывают качественное поведение решений дифференциальных уравнений на некотором интервале изменения независимой переменной. Для определения качественного поведения решений дифференциальных уравнений на некотором интервале изменения независимой переменной используются асимптотические методы. Асимптотические методы более предпочтительны, чем численные методы, когда нужно знать поведение решения дифференциального уравнения, рассматриваемого на неограниченном интервале. Это объясняется тем, что невязка решения дифференциального уравнения (модуль разности истинного решения и численного решения) обычно оценивается сверху через величину, пропорциональную длине интервала, на котором применяется численный метод. В работе рассматривается одномерная задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием. Используя явное представление решения задачи Коши, была построена точная равномерная оценка и точная поточечная оценка скорости стабилизации решения задачи Коши к нулю при большом времени.

1. Зеленяк Т.И. Об асимптотики решений одной смешанной задачи. Диф. уравнения. 1966;2(1):47–64.

2. Глушко А.В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики. Воронеж, Воронежский государственный университет; 2003. 300 с.

3. Глушко А.В., Рябенко А.С. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве. Вестник Воронежского государственного университет. Серия: Физика. Математика. 2008;1:226–231.

4. Глушко А.В., Рябенко А.С. Принцип локализации и оценка скорости затухания колебаний вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости. Математические заметки. 2009;85(4):585–592.

5. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. УМН. 2005;60(4):145–212.

6. Рябенко А.С. Оценка при t→∞ решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2007;1:95–99.

7. Рябенко А.С., Карпова Ю.Ю. Изучение второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2011;1:168–174.

8. Першин И.В. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с особенностью на границе. Тр. ИММ. Уро РАН. 2012;18(1):268–272.

9. Горшков А.В. Стабилизация решения уравнения теплопроводности во внешней сфере с управлением на границе. Вестник Московского университета. Сер 1. Математика. Механика. 2016;5:3–14.

10. Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. Бюлл. МГУ, мат. мех. 1938;1(9):1–40.

11. Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Докл. АН СССР. 1970;90(1):38–41.

12. Эйдельман С.Д, Порпер Ф.О. О стабилизации параболических уравнений. Изв. вузов. Матем. 1960;4:210–217.

13. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. Дифференциальные уравнения. 1984;20(1):20–41.

14. Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений с младшими коэффициентами. ДАН. РАН. 2010;433(4):452–454.

15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва: ФИЗМАТЛИТ; 1976. 519 с.