Численное моделирование одномерных волновых процессов в разномодульной среде: программная реализация и анализ сходимости

Современная механика деформируемого твердого тела активно развивается в направлении моделирования разномодульных материалов – сред, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию. Этот класс охватывает природные и искусственные материалы, широко применяемые в инженерной практике. Различие модулей упругости при растяжении и сжатии приводит к сильной нелинейности механического отклика, что в случаях динамического нагружения порождает качественно сложные волновые картины с образованием и взаимодействием разрывов деформаций. Как следствие, аналитическое решение соответствующих краевых задач становится достаточно сложным из-за множественных взаимодействий волновых фронтов. В статье представлены разработка, программная реализация и верификация специализированного средства автоматизированного решения краевых задач одномерной динамики разномодульных упругих сред при произвольных режимах граничного воздействия. В его основу положен формализованный итерационный метод построения волновой картины, использующий кусочно-линейную аппроксимацию граничных условий и определяющих соотношений разномодульной среды Мясникова-Олейникова. Программное средство полностью автоматизирует построение волновой картины: отслеживает эволюцию системы волн, классифицирует события, автоматически формирует и решает системы нелинейных уравнений для определения параметров новых локальных областей между волновыми фронтами, а также контролирует эволюционность разрывов деформаций и добавление жестких слоев. Верификация выполнена на тестовых задачах с формированием ударных волн и жестких слоев. Анализ сходимости полученных результатов к известным аналитическим решениям подтверждает высокую точность реализованного метода при увеличении числа узлов аппроксимации граничного условия. Таким образом, разработанное программное средство является эффективным инструментом для автоматизации исследований волновых процессов, обеспечивающим физически корректное моделирование одномерного динамического деформирования разномодульных материалов. Полученные результаты имеют практическую ценность для исследователей в области механики деформируемого твердого тела, специалистов по численному моделированию, а также инженеров, занимающихся проектированием конструкций из разномодульных материалов при динамических воздействиях.

1. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика горных пород. Москва: Недра; 1975. 271 с.

2. Заалишвили В.Б. Нелинейные свойства грунтов. Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2015;(4):22–37.

3. Бессонов Д.Е., Зезин Ю.П., Ломакин Е.В. Разносопротивляемость зернистых композитов на основе ненасыщенных полиэфиров. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2009;9(4):9–13. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-4-2-9-13

4. Lomakin E.V., Fedulov B.N. Nonlinear anisotropic elasticity for laminate composites. Meccanica. 2015;50(6):1527–1535. https://doi.org/10.1007/s11012-015-0104-5

5. Fouremeau M., Borvik T., Benallal A., Hopperstad O.S. Anisotropic failure modes of high-strength aluminium alloy under various stress states. International Journal of Plasticity. 2013;(48):34–53. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2013.02.004

6. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. Москва: Наука; 1982. 320 с.

7. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела. Известия Академии Наук СССР. Механика твёрдого тела. 1978;(6):29–34.

8. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. Владивосток: Дальнаука; 2007. 172 с.

9. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. Москва: Физматлит; 2008. 368 с.

10. Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория уравнений движения разномодульной упругой среды. Прикладная математика и механика. 1985;49(3):419–437.

11. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. Москва: Московский лицей; 1998. 412 с.

12. Дудко О.В., Лаптева А.А., Рагозина В.Е. Эволюция волновой картины кусочно-линейного одноосного растяжения и сжатия разномодульного упругого стержня. Cибирский журнал индустриальной математики. 2022;25(4):54–70.

13. Kuznetsova M., Khudyakov M., Sadovskii V. Wave propagation in continuous bimodular media. Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2022;29(21):3147–3162. https://doi.org/10.1080/15376494.2021.1889725

14. Дудко О.В., Лаптева А.А., Семенов К.T. О распространении плоских одномерных волн и их взаимодействии с преградами в среде, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Дальневосточный математический журнал. 2005;6(1):94–105.

15. Дудко О.В., Лаптева А.А. Циклическое одноосное растяжение-сжатие разномодульного упругого полупространства. Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2025;2(64):105–117. https://doi.org/10.37972/chgpu.2025.64.2.002