АППРОКСИМАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА СЕТИ

В работе рассматриваются вопросы аппроксимации математических моделей сетеподобных эволюционных процессов переноса применительно к дифференциальным системам с распределенными параметрами на сети (графе). Указан подход, использующий применение теории классических вычислительных методов, состоящий в сведении исследуемой задачи к системам алгебраических уравнений (вспомогательных конечномерных задач), в которых неизвестными являются значения сеточных функций в точках разбиения ребер графа. При этом наличествует достаточно широкая возможность для выбора разного типа сходящихся разностных схем, существенно отличающихся друг от друга: явные разностные схемы, неявные разностные схемы, аналоги разностных схем Кранка-Николсона (ниже, чтобы не загружать исследование техническими сложностями, используются явные разностные схемы). Следует отметить характерную особенность изучаемых математических моделей, наследуемую реологической структурой графа – наличие особых точек графа, в которых дифференциальное уравнение не определяется (узлы или вершины графа) и заменяется обобщенными условиями Кирхгофа. Формализмы последних описывают закономерности переноса сплошных сред в этих точках и требуют отдельного подхода в вопросах аппроксимации (в работе для простоты изложения используются классические разностные отношения). Следует также отметить, что использование при аппроксимации неявной разностной схемы или схемы Кранка-Николсона требует дополнительного анализа вспомогательных конечномерных задач (разрешимость, равномерная ограниченность приближений к решению исходной задачи), но при этом существенно увеличивает точность вычисления приближений. Использование явной разностной схемы освобождено от изучения некоторых из указанных вопросов, однако (и это при анализе некоторых прикладных задач может быть существенным препятствием в использовании) дает достаточно большую погрешность определения решения исходной задачи. Приведенные частные примеры прикладного характера иллюстрируют пути численного анализа дифференциальных систем с носителями на произвольной сети (графе). Полученные результаты достаточно просто переносятся на изучение численными методами волновых процессов и явлений колебания в процессах переноса.

1. Балабан О.Р. Аппроксимация эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами на сети и метод моментов. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2019;7(3). Доступно по: https://moit.vivt.ru/wp-content/uploads/2019/09/Balaban_3_19_1.pdf. DOI: 10.26102/2310-6018/2019.26.3.040 (дата обращения: 29.05.2020).

2. Балабан О.Р., Иванов А.В. Аппроксимация эволюционных уравнений параболического типа на сети. Системы управления и информационные технологии. 2018;4(74):4-7.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.:Наука. 1977:456.

4. Провоторов В.В., Провоторова Е.Н. Синтез оптимального граничного управления параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017;13(2):209-224. Доступно по: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.207. (дата обращения: 29.05.2020).

5. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе. Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014;10(6):29-35.

6. Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010;2:60-69.

7. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;1.2(31):272-277.

8. Provotorov V.V., Ryazhskikh V.I., Gnilitskaya Yu.A. Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike region. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer sciense. Control processes. 2017;13(3):264-277. Доступно по: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.304. (дата обращения: 29.05.2020).

9. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Balaban O.R. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer sciense. Control processes. 2019;15(2):187-198. Доступно по: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203. (дата обращения: 30.05.2020).

10. Balaban O.R. Approximation of elliptic operator of evolutionary systems with distributed parameters on a network. Modern informatization problems in simulation and social technologies (MIP-2019’SCT): Proceedings of the XXIV-th International Open Science Conference (Yelm, WA, USA, January 2019). 2019:148-154.