В работе рассматриваются процессы восстановления с учетом стоимости восстановлений. Для простого и общего процесса выведены формулы дисперсии стоимости восстановлений. Наличие этих формул вместе с формулами для среднего числа отказов, средней стоимости восстановлений и их дисперсий дают возможность постановок оптимизационных задач в терминах риск – дисперсия, цена – средняя стоимость, качество – среднее число восстановлений при организации процессов и стратегий восстановления. Представлена задача о минимизации дисперсии стоимости восстановлений при ограничениях на среднее число отказов, среднюю стоимость восстановлений на задаваемом промежутке времени и приведено ее решение при простом процессе с экспоненциальным распределением. Сформулирована задача в терминах цена, качество, риск по оптимальному формированию функции распределения, задающей процесс восстановления в виде смеси задаваемых функций распределения. Рассмотренные в статье задачи по формулировке схожи с известными задачами Марковица о формировании портфеля ценных бумаг. Отмечается, что оптимизационные задачи в терминах цена, качество, риск можно расширить за счет включения вопросов выбора стратегий восстановления, в которых время проведения профилактических восстановлений определяется, например, по критерию минимума интенсивности затрат или максимума коэффициента готовности – показателя, играющего существенную роль в процессе эксплуатации информационных систем. При экспоненциальном распределении простого процесса восстановления выписаны формулы Чебышева и коэффициенты вариации для числа отказов и стоимости восстановлений. Полученные в работе результаты предназначены для постановки и решения оптимизационных задач, возникающих при эксплуатации технических и информационных систем, систем защиты информации, средств обеспечения информационной безопасности в компьютерных системах и сетях в ситуациях возникновения угроз, носящих случайный, непреднамеренный характер.
1. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. Советское радио. 1967.
2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Радио и связь. 1988.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей. Либроком. 2009.
4. Вайнштейн И.И., Вайнштейн В.И. Дисперсия числа отказов в моделях процессов восстановления технических и информационных систем. Оптимизационные задачи. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2019;7(3). Доступно по: https://moit.vivt.ru/wp-content/uploads/2019/09/VainshteinVainshtein_3_19_1.pdf DOI: 10.26102/2310-6018/2019.26.3 (дата обращения: 12.02.2021).
5. Вайнштейн В.И. Дисперсия числа отказов в процессах восстановления. Надежность. 2019;19(4):12-16. Доступно по: https://www.dependability.ru/jour/article/view/343 DOI: 10.21683/1729-2646-2019-19-4-12-16 (дата обращения: 12.02.2021).
6. Вайнштейн И.И. Процессы и стратегии восстановления с изменяющимися функциями распределения в теории надежности. СФУ. 2016.
7. Вайнштейн И.И., Шмидт О.О. Процессы восстановления с учетом стоимости восстановлений. Вопросы математического анализа. ИПЦ КГТУ. 2007.
8. Вайнштейн И.И., Вайнштейн В.И., Вейсов Е.А. О моделях процессов восстановления в теории надежности. Вопросы математического анализа. 2003;6:78-84.
9. Булинская Е.В., Соколова А.И. Асимптотическое поведение некоторых стохастических систем хранения. Современные проблемы математики и механики. 2015;10(3):37-62.
10. Markowits H. Portfolio Selection. Journal of Finance. 1952;7(1):71-91.
Вайнштейн Виталий Исаакович
кандидат физико-математических наук
ORCID |
ФГАО ВО «Сибирский федеральный университет»
г. Красноярск, Россия
