Символьный метод решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения переноса сплошной среды на графе

Актуальность исследования обусловлена необходимостью получения аналитических выражений приближенных решений сложных технических задач, математическое описание которых, приводит к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений в сетеподобных областях и, в частности, на графах. В статье представлена постановка начально-краевой задачи для неоднородного уравнения переноса сплошной среды в n-мерной сетеподобной области. В случае n=1 предлагается символьный метод решения рассматриваемой начально-краевой задачи на графе-дереве. В основе алгоритма лежит аппроксимация частной производной по временной переменной разностным отношением (используется двухслойная аппроксимационная схема) и последующее применение преобразования Лапласа к полученной дифференциально-разностной системе. Представлена блок-схема алгоритма, приведено описание структуры программного комплекса на основе разработанного алгоритма. Программный комплекс разработан на языке программирования Java. Для ввода исходных данных начально-краевой задачи и вывода решения используется веб-интерфейс программного комплекса на основе фреймворка Spring. Для иллюстрации работы программного комплекса рассматривается пример решения начально-краевой задачи с пошаговой демонстрацией результатов расчетов. Материалы статьи представляют практическую ценность для специалистов в области анализа прикладных задач сетевой гидродинамики, теплотехники, а также анализе диффузионных процессов биофизики.

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. Москва: ФИЗМАТЛИТ; 2004. 272 с.

2. Подвальный С.Л., Провоторов В.В., Хоанг В.Н., Тран З. Точечная оптимизация ламинарного течения вязкой жидкости в сетевом носителе. Вестник Воронежского государственного технического университета. 2022;18(5):7–16.

3. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки». Системы управления и информационные технологии. 2008;(2-2):293–297.

4. Провоторов В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014;(3):154–163.

5. Провоторов В.В., Провоторова Е.Н. Оптимальное управление линеаризованной системой Навье-Стокса в сетеподобной области. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017;13(4):431–443.

6. Жабко А.П., Шиндяпин А.И., Провоторов В.В. Устойчивость слабого решения параболической системы с распределенными параметрами на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019;15(4):457–471. DOI: 10.21638/11702/spbu10.2019.404.

7. Рыбаков М.А. Решение задачи переноса сплошной среды по сетевому носителю в символьном виде. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2023;11(4). URL: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1451. DOI: 10.26102/2310-6018/2023.43.4.010 (дата обращения: 15.02.2024).

8. Малашонок Н.А, Рыбаков М.А. Символьно-численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с требуемой точностью. Программирование. 2013;39(3):38–46.

9. Малашонок Г.И., Рыбаков М.А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений и расчет динамических характеристик систем управления в веб-сервисе MathPartner. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014;19(2):517–529.

10. Рыбаков М.А. О нахождении общего и частного решений неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2012;17(2):552–565.