Исследование методов обращения матриц для применения в алгоритмах адаптивного диаграммообразования

Статья посвящена исследованию методов обращения ковариационных матриц в задачах адаптивного диаграммообразования в антенных решетках. Рассматриваются два варианта обработки сигналов, а именно пространственная и пространственно-временная обработка, для которых анализируется структура ковариационной матрицы и ее влияние на выбор алгоритмов обращения. В качестве эталонного решения используются оптимальные весовые коэффициенты, определяемые по критерию Винера как решение задачи минимизации среднеквадратической ошибки. Проведено сравнение алгоритма Холецкого, рекурсивного алгоритма типа Левинсона, метода Барайсса и БПФ-аппроксимации с точки зрения точности восстановления оптимальных весов, значения среднеквадратической ошибки обучения, формы диаграммы направленности и вычислительной сложности. Численное моделирование выполнено в MATLAB для различных геометрий антенных решеток при одинаковом сценарии помеховой обстановки. Рассмотрена связь между структурой ковариационной матрицы в задачах пространственной и пространственно-временной обработки, выбором алгоритмов ее обращения и их вычислительной эффективностью. Показано, что точные методы обращения обеспечивают совпадение с оптимальным решением, тогда как аппроксимационные методы позволяют существенно снизить вычислительные затраты при контролируемом росте ошибки. Полученные результаты подтверждают целесообразность использования структурных методов обращения ковариационной матрицы в задачах пространственно-временной адаптивной обработки сигналов.

1. Глушанков Е.И., Царик В.И. Прямые методы адаптации линейных и кольцевых антенных решеток в навигационных спутниковых системах. Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. 2023;26(1):6–16. https://doi.org/10.32603/1993-8985-2023-26-1-6-16

2. Глушанков Е.И., Царик И.В., Царик В.И. Пространственно-распределенная технология адаптивного формирования диаграммы направленности антенной решетки. Научные известия. 2022;(29):165–169.

3. Van Trees H.L. Optimum Array Processing: Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory. New York: John Wiley & Sons; 2002. 1472 p.

4. Golub G.H., Van Loan Ch.F. Matrix Computations. Baltimore: The Johns Hopkins University Press; 2013. 756 p.

5. Aubry A., Babu P., De Maio A., Rosamilia M. Advanced Methods for MLE of Toeplitz Structured Covariance Matrices With Applications to Radar Problems. IEEE Transactions on Information Theory. 2024;70(12):9277–9292. https://doi.org/10.1109/TIT.2024.3474977

6. Джиган В.И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. Москва: Техносфера; 2013. 528 c.

7. Sosulski Ja., Tangermann M. Introducing block-Toeplitz covariance matrices to remaster linear discriminant analysis for event-related potential brain-computer interfaces. Journal of Neural Engineering. 2022;19(6). https://doi.org/10.1088/1741-2552/ac9c98

8. Woolrich M., Hunt L., Groves A., Barnes G. MEG beamforming using Bayesian PCA for adaptive data covariance matrix regularization. NeuroImage. 2011;57(4):1466–1479. https://doi.org/10.1016/j.neuroimage.2011.04.041

9. Haykin S.S. Adaptive Filter Theory. Boston: Pearson; 2014. 912 p.

10. Глушанков Е.И., Царик В.И. Анализ качества алгоритмов адаптивной пространственной и пространственно-частотной фильтрации сигналов в системах спутниковой навигации. Труды учебных заведений связи. 2022;8(3):37–43. https://doi.org/10.31854/1813-324X-2022-8-3-37-43

11. Böttcher A., Grudsky S.M. Toeplitz matrices, asymptotic linear algebra and functional analysis. Gurgaon: Hindustan Book Agency; 2000. 126 p. https://doi.org/10.1007/978-93-86279-04-0

12. Akaike H. Block Toeplitz matrix inversion. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1973;24(2):234–241. https://doi.org/10.1137/0124024

13. Cybenko G. The Numerical Stability of the Levinson-Durbin Algorithm for Toeplitz Systems of Equations. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1980;1(3):303–319. https://doi.org/10.1137/0901021

14. Chan T.F. An optimal circulant preconditioner for Toeplitz systems. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1988;9(4):766–771. https://doi.org/10.1137/0909051

15. Gray R.M. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. Foundations and Trends in Communications and Information Theory. 2006;2(3):155–239.